Drie pinnen en één regel over grootte
Verplaats alle schijven naar de rechterpin. Je mag alleen de bovenste schijf pakken, één schijf tegelijk verplaatsen en die op een lege pin of een grotere schijf leggen. Een grotere schijf mag nooit op een kleinere liggen.
Hier kun je links beginnen met een complete toren van drie, vier, vijf, zes of zeven schijven. Gemengd is anders: vijf schijven beginnen verspreid over de drie pinnen. De bestemming blijft gelijk, maar de kortste route hangt af van die beginstand.
Je kunt een bovenste schijf slepen, een schijf en bestemming selecteren of het toetsenbord gebruiken. Met 1, 2 en 3 kies je pinnen. Met de pijltjestoetsen en Enter kun je er ook tussen bewegen. Een geweigerde zet verandert de puzzel niet.
Waarom het minimum verdubbelt, plus één
Zet bij een complete toren eerst alle schijven behalve de grootste op de vrije pin. Verplaats de grootste naar de bestemming en zet de kleinere toren erop. Voordat de grootste kan bewegen, moeten zowel die schijf als de doelpin vrij zijn van kleinere schijven. Die voorbereiding kun je dus niet overslaan.
Kost de kleinere toren T zetten, dan kost het geheel T + 1 + T. Vanaf één schijf en één zet krijg je 3, 7, 15, 31, 63 en 127 zetten voor twee tot en met zeven schijven. Als formule is het minimum voor een complete toren 2n − 1, waarbij n het aantal schijven is.
De collegenotities discrete wiskunde van Cambridge geven deze recursieve aanpak en schrijven de puzzel toe aan Édouard Lucas in 1883. De formule geldt voor een complete begintoren op één pin, niet voor elke deels verplaatste of gemengde stand.
Werk drie schijven uit
Noem de schijven klein, middelgroot en groot. Maak eerst ruimte voor de grote schijf om de hele toren van links naar rechts te verplaatsen:
- Verplaats klein van links naar rechts, middelgroot van links naar het midden en klein van rechts naar het midden. De twee kleinere schijven vormen nu een toren op de vrije pin.
- Verplaats groot van links naar rechts. Dit is de zet die de eerste drie voorbereidden.
- Verplaats klein van het midden naar links, middelgroot van het midden naar rechts en klein van links naar rechts.
Dat zijn drie zetten, één zet en drie zetten: zeven in totaal. Bij vier schijven gebruikt hetzelfde plan een toren van drie als kleinere taak. Je hoeft geen compleet andere reeks te bedenken.
Wat deze oefening vastlegt
Het resultaat toont je zetten, het minimum voor de beginstand, gebruikte hints en actieve tijd. Het minimum komt uit de geldige puzzelstanden, niet uit prestaties van andere spelers. Gemengde standen krijgen hun eigen exacte minimum, niet automatisch 31 omdat ze vijf schijven hebben.
Ongedaan maken haalt een zet van de getoonde teller af. Het eindgetal beschrijft dus de overgebleven route na je teruggedraaide zetten, niet elke beweging die je probeerde. De klok begint bij je eerste zet en pauzeert op een achtergrondtabblad. Nadenken over het onaangeraakte beginbord telt niet mee.
Een hint doet één zet op een kortste route vanuit je huidige stand. Die zet telt mee en de hint blijft geregistreerd, ook als je de zet terugdraait. Een oplossing met hints kan lokaal als opgelost worden opgeslagen, maar wordt uitgesloten van tijdvergelijkingen. Een onafgemaakte puzzel verlaten slaat geen voltooid resultaat op.
Lees die details samen. Vijftien zetten met een hint vertellen een ander verhaal over vier schijven dan vijftien zetten zonder hint. Geen van beide resultaten zegt op zichzelf hoe je een onbekende puzzel aanpakt.
Wat onderzoekers er interessant aan vonden
In The functional equivalence of problem solving skills (1975) gebruikte Herbert Simon de Toren van Hanoi om verschillende manieren te onderzoeken waarop mensen hetzelfde probleem oplossen. Hij beschreef vier brede strategiegroepen, met verschillende eisen aan geheugen, waarneming en leren.
De bruikbare conclusie hier is beperkt: dezelfde bestemming bereiken betekent niet noodzakelijk hetzelfde denkwerk doen. Iemand met een aangeleerde recursieve methode en iemand die zet voor zet een route zoekt, kunnen vergelijkbare getallen halen. De zettenteller ziet niet welk proces die opleverde en beoordeelt geen algemene planningsvaardigheid.
Oefen het volgende tussendoel, niet de hele reeks
Benoem vóór een zet de grootste schijf die hierna moet verplaatsen. Vraag waar de kleinere toren moet wachten om die zet mogelijk te maken. Onthoud die tijdelijke bestemming. Een kleine schijf van de eindpin weghalen kan precies de juiste voorbereiding zijn.
Gebruik bij vastlopen één hint en leg uit wat die mogelijk maakte voordat je een volgende vraagt. Dezelfde beginstand opnieuw starten laat je dat tussendoel nog eens oefenen. Zie dit als een nieuwe poging op een bekende stand, niet als een nieuwe onafhankelijke meting.
De les Verplaats eerst de kleinere toren (in het Engels) toont die structuur. De Toren van Hanoi-oefening begint met drie schijven. Kies een grotere toren of een gemengde stand als je een ander probleem wilt.
Veelgestelde vragen
Wat is het minimumaantal zetten bij de Toren van Hanoi?
Voor een complete toren van n schijven is het minimum 2 tot de macht n, min 1. Drie schijven vragen 7 zetten, vier 15, vijf 31, zes 63 en zeven 127. De kleinere toren verplaatst twee keer: eenmaal uit de weg en eenmaal terug erbovenop, met daartussen één zet van de grootste schijf.
Hoe los je de Toren van Hanoi met drie schijven op?
Verplaats klein van links naar rechts, middelgroot van links naar het midden en klein van rechts naar het midden. Verplaats groot van links naar rechts. Verplaats daarna klein van het midden naar links, middelgroot van het midden naar rechts en klein van links naar rechts. Dat zijn zeven zetten: drie om ruimte te maken, één voor de grote schijf en drie om de toren erop te bouwen.
Wat zijn de regels van de Toren van Hanoi?
Verplaats de hele toren naar een andere pin. Je mag alleen de bovenste schijf pakken en één schijf tegelijk verplaatsen. Een schijf mag op een lege pin of een grotere schijf. Een grotere schijf mag nooit op een kleinere liggen. Hier begint een complete toren links en moet die naar de rechterpin.
Wie bedacht de Toren van Hanoi?
De collegenotities discrete wiskunde van Cambridge schrijven de puzzel toe aan Édouard Lucas in 1883. Ze geven ook de recursieve methode: verplaats de kleinere toren uit de weg, verplaats de grootste schijf en zet de kleinere toren erbovenop. Herbert Simon gebruikte de puzzel later in een artikel uit 1975 over verschillende strategieën voor hetzelfde probleem.
Geldt de minimumformule ook voor een gemengde beginstand?
Nee. De formule beschrijft een complete begintoren op één pin. Een gemengde stand, met schijven verspreid over de drie pinnen, heeft zijn eigen kortste route. Deze oefening berekent voor elke gemengde stand het exacte minimum uit de geldige puzzelstanden. Vijf gemengde schijven krijgen dus niet automatisch 31 zetten.