Che cosa chiede un quesito sulle sezioni
Immagina di tagliare un pezzo di formaggio con un solo movimento diritto del coltello. La faccia piana lasciata dal coltello è la sezione. Il quesito disegna un solido e un piano che lo attraversa: devi scegliere il contorno di quella faccia.
Su questo sito il solido è un cubo o un parallelepipedo rettangolo. Un foglio trasparente rappresenta il piano di taglio. Le linee sulle facce visibili mostrano dove il piano le incontra. La parte dietro il solido non è disegnata, quindi devi seguirla mentalmente. Le quattro opzioni hanno sempre tre, quattro, cinque e sei lati.
Dove compare questo formato
A scuola. Gli standard Common Core di matematica negli Stati Uniti chiedono agli alunni del settimo anno di descrivere le figure bidimensionali ottenute sezionando figure tridimensionali, con prismi rettangolari e piramidi come esempi (standard 7.G.A.3).
Nella ricerca. Cheryl Cohen e Mary Hegarty svilupparono il Santa Barbara Solids Test: 30 quesiti a scelta multipla in cui si identifica la sezione di un solido geometrico. I solidi più semplici sono coni, cubi, cilindri, prismi e piramidi. I quesiti più difficili uniscono due solidi o ne inseriscono uno nell’altro.
In un test attitudinale storico. Il Mental Cutting Test deriva dallo Special Aptitude Test in Spatial Relations, sviluppato dal College Entrance Examination Board negli Stati Uniti nel 1939. La versione standard ha 25 problemi. Ciascuno mostra un solido e un piano di taglio; scegli la sezione tra cinque opzioni. In Giappone Kenjiro Suzuki, dell’Università di Tokyo, e colleghi lo hanno usato per misurare le abilità spaziali nei corsi di rappresentazione grafica; Emiko Tsutsumi lo ha usato con studenti del primo anno a Tokyo.
Come ragionare sul problema
Tre fatti fanno gran parte del lavoro.
- Ogni faccia attraversata dal piano dà un lato. Un piano incontra una faccia piana lungo una retta. La sezione ha quindi tanti lati quante sono le facce attraversate.
- Un parallelepipedo ha sei facce, quindi una sezione ha da tre a sei lati. Tre è il minimo per una figura chiusa. Sei significa attraversare tutte le facce.
- Le facce opposte danno lati paralleli. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e un piano le interseca lungo rette parallele.
Conta quindi le facce, non i vertici. Parti dalle linee disegnate sulle facce visibili. Segui poi il piano sul retro e conta le facce che deve attraversare lì. Il piano stesso è disegnato come un rettangolo molto più grande del solido: il suo contorno non è la risposta.
Quattro esempi svolti
Ogni esempio qui sotto è una domanda reale della pratica Sezioni del sito, disegnata dalla pratica stessa; tutti e quattro usano lo stesso cubo. Copri i passaggi sotto ciascuno e prova prima da solo. Il secondo disegno è quello mostrato dopo la risposta: l’intera sezione evidenziata dentro il cubo e la stessa figura distesa accanto.
Esempio 1: un taglio diritto (Facile)
Quale contorno rappresenta la sezione?
- Conta le linee di taglio sulle facce visibili: due.
- Segui il piano sul retro. Attraversa altre due facce nascoste.
- Ogni faccia attraversata dà un lato: la sezione ha quattro lati ed è un quadrato. È l’opzione C.
La risposta è C, un quadrato. Il taglio è parallelo a due facce del cubo, quindi tutti e quattro i lati sono lunghi quanto lo spigolo del cubo.
Esempio 2: un taglio inclinato lungo uno spigolo (Standard)
Quale contorno rappresenta la sezione?
- Conta le linee di taglio sulle facce visibili: due.
- Segui il piano sul retro. Attraversa altre due facce nascoste.
- Ogni faccia attraversata dà un lato: la sezione ha quattro lati ed è un rettangolo. È l’opzione B.
La risposta è B, un rettangolo. In una direzione il taglio segue ancora gli spigoli del cubo, quindi due lati sono lunghi quanto uno spigolo. Nell’altra attraversa il cubo obliquamente: quei due lati sono più lunghi. Quattro angoli retti e due lunghezze: un rettangolo, non un quadrato.
Esempio 3: cinque lati (Standard)
Quale contorno rappresenta la sezione?
- Conta le linee di taglio sulle facce visibili: tre.
- Segui il piano sul retro. Attraversa altre due facce nascoste.
- Ogni faccia attraversata dà un lato: la sezione ha cinque lati ed è un pentagono. È l’opzione D.
La risposta è D, un pentagono. Due coppie di lati si trovano su facce opposte del cubo; i lati di ciascuna coppia sono paralleli.
Esempio 4: sei lati (Sfida)
Quale contorno rappresenta la sezione?
- Conta le linee di taglio sulle facce visibili: tre.
- Segui il piano sul retro. Attraversa altre tre facce nascoste.
- Ogni faccia attraversata dà un lato: la sezione ha sei lati ed è un esagono. È l’opzione A.
La risposta è A, un esagono. Sono attraversate tutte e sei le facce. Le tre coppie di facce opposte danno tre coppie di lati paralleli.
Dubbi comuni
Quadrato o rettangolo. Un taglio parallelo a una faccia del cubo è un quadrato, come nell’esempio 1. Lo stesso taglio in un parallelepipedo più lungo è un rettangolo, come anche un taglio inclinato del cubo nell’esempio 2. Qui le quattro opzioni differiscono nel numero di lati, quindi basta contarli. Altri test possono essere diversi: alcuni problemi del Mental Cutting Test dipendono dalle lunghezze dei lati o dagli angoli tra essi.
Quattro lati non significano sempre rettangolo. Alcuni tagli di livello Sfida attraversano quattro facce obliquamente e formano una figura a quattro lati senza angoli retti. Conta prima i lati. Controlla gli angoli solo se la domanda lo richiede.
L’esagono. Un cubo può dare più di quadrati, rettangoli e triangoli. Un piano può attraversare tutte e sei le facce e lasciare un esagono. Un taglio per il centro, perpendicolare alla retta che unisce due vertici opposti, produce un esagono regolare con sei lati uguali. Gli esagoni della pratica sono leggermente inclinati rispetto a quel piano, quindi i lati non sono uguali, come nell’esempio 4. I lati opposti restano paralleli.
Vedere la sezione di sbieco. Il disegno mostra il taglio da un’angolazione, quindi appare schiacciato. La risposta è la figura vista frontalmente. Cohen e Hegarty inserirono nel test risposte sbagliate proprio di questo tipo: la forma immaginata senza spostare il punto di vista di fronte al taglio. Trovarono anche più errori quando il piano era inclinato rispetto a quando era orizzontale o verticale.
Coni e cilindri. La pratica usa solo parallelepipedi, ma test come il Santa Barbara Solids Test includono coni e cilindri. Un cilindro tagliato trasversalmente dà un cerchio; tagliato lungo l’asse dà un rettangolo. Un taglio inclinato che resta tra le due basi dà un’ellisse. Un cono tagliato parallelamente alla base dà un cerchio; un taglio inclinato che non incontra la base dà un’ellisse, come mostrano le sezioni coniche. Un taglio verticale attraverso il vertice incontra la superficie inclinata in due rette e la base in una terza: dà quindi un triangolo.
Disegnare le linee non basta. Nello studio di Tsutsumi, gli studenti che disegnavano le linee del taglio su ogni solido prima di rispondere non ottennero punteggi più alti rispetto alla versione standard. Le linee aiutano solo quando le conti e chiudi la figura.
Come esercitarti qui
Inizia con la lezione Taglia un solido (in inglese). Nell’esempio fai scorrere a mano un taglio inclinato attraverso un cubo, osservando come cambia il numero di lati. Passa poi alla pratica Sezioni. Ogni turno ha sei domande, con un cubo e cinque parallelepipedi di altre proporzioni. I livelli cambiano i tagli proposti:
- Facile: tre tagli diritti a quattro lati e tre tagli d’angolo a tre lati.
- Standard: tre tagli a quattro lati, uno d’angolo e due a cinque lati.
- Sfida: un taglio a quattro lati, due a cinque lati e tre a sei lati.
Non c’è limite di tempo né bonus per la velocità. La scelta blocca la risposta. La pratica evidenzia poi l’intera sezione, la disegna in piano accanto al solido e ti permette di ruotare la vista. Prima di continuare, trova ogni lato della figura piana sulla faccia da cui proviene. Il punteggio è il numero di risposte corrette su sei. Descrive questa pratica in quel giorno, nulla di più generale.
Pratiche correlate sul sito
- Viste del cubo. Leggi un solido dalle viste dall’alto e frontale.
- Trova l’apertura. Trova il contorno dell’intero solido mentre attraversa un’apertura.
Domande frequenti
Che cos’è un test delle sezioni?
Mostra un solido attraversato da un taglio piano e chiede quale forma ne risulta. Tra le versioni di ricerca ci sono il Santa Barbara Solids Test, con 30 quesiti a scelta multipla, e il Mental Cutting Test, derivato da un test attitudinale sulle relazioni spaziali del 1939. Nelle scuole statunitensi lo standard 7.G.A.3 chiede agli alunni del settimo anno di descrivere le forme ottenute sezionando un solido.
Come si trova la forma di una sezione?
Conta le facce attraversate dal taglio. Un taglio piano incontra ogni faccia piana lungo una retta, quindi la figura ha tanti lati quante sono le facce attraversate. Parti dalle linee sulle facce visibili, poi segui il taglio sul retro e conta le facce che deve attraversare lì. Le facce opposte danno lati paralleli.
Quali sezioni può avere un cubo?
Un cubo ha sei facce, quindi un taglio piano ha da tre a sei lati. Un taglio d’angolo dà un triangolo. Un taglio parallelo a una faccia dà un quadrato e uno inclinato lungo uno spigolo dà un rettangolo. Alcuni tagli attraversano cinque facce e danno cinque lati. Un taglio per il centro, perpendicolare alla retta tra due vertici opposti, dà un esagono regolare.
Qual è la sezione di un cilindro o di un cono?
Un cilindro tagliato trasversalmente dà un cerchio; lungo l’asse dà un rettangolo. Un taglio inclinato che resta tra le due basi dà un’ellisse. Un cono tagliato parallelamente alla base dà un cerchio; un taglio inclinato che non incontra la base dà un’ellisse. Un taglio verticale attraverso il vertice del cono dà un triangolo.
Perché i quesiti sulle sezioni sono difficili?
Il taglio è disegnato di sbieco e appare schiacciato, ma la risposta è la figura vista frontalmente. Cohen e Hegarty inserirono nel test risposte sbagliate proprio di quel tipo e trovarono più errori quando il piano era inclinato rispetto a quando era orizzontale o verticale. Disegnare le linee non basta: contale e chiudi la figura.
Fonti
- Illustrative Mathematics. Common Core standard 7.G.A.3, slicing three-dimensional figures.
- Cohen, C. A. and Hegarty, M. (2012). Inferring cross sections of 3D objects: a new spatial thinking test. Learning and Individual Differences, 22, 868 to 874.
- Cohen, C. A. and Hegarty, M. (2007). Sources of difficulty in imagining cross sections of 3D objects. Proceedings of the 29th Annual Conference of the Cognitive Science Society, 179 to 184.
- Tsutsumi, E. (2004). A Mental Cutting Test using drawings of intersections. Journal for Geometry and Graphics, 8(1), 117 to 126.
- Wolfram MathWorld. Cube, Cylinder and Conic Section.