Primero pinta, después corta
Primero se pintan las seis caras exteriores del cubo grande, incluida la base y las caras ocultas. Después se corta en cubos pequeños iguales. Las nuevas caras del corte no tienen pintura.
Llama n al número de cubos pequeños por arista. Al quitar uno en cada extremo quedan n − 2 posiciones interiores.
Agrupa los cubos por su posición. Estas cantidades se aplican cuando n es al menos 2:
- Sin pintura, totalmente dentro: (n − 2)³.
- Una cara pintada, fuera de las aristas: 6 × (n − 2)².
- Dos caras pintadas, en aristas sin esquinas: 12 × (n − 2).
- Tres caras pintadas, en las esquinas: 8.
Con dos cubos por arista, los ocho cubos pequeños son esquinas. Un cubo sin cortar, con uno por arista, tiene seis caras pintadas; ese caso no aparece en las preguntas.
Cuenta los cubos de las aristas
En un cubo de 4 × 4 × 4, cuenta los cubos pequeños con exactamente dos caras pintadas. En cada una de las doce aristas quedan 4 − 2 = 2 cubos tras excluir ambas esquinas. Por tanto, 12 × 2 = 24.
Comprueba cada capa horizontal desde arriba. Los puntos indican cubos que cumplen la condición, no superficies de corte pintadas. La capa inferior y la superior aportan 8 cada una; las dos intermedias, 4 cada una. Así, 8 + 4 + 4 + 8 = 24.
Prueba con una cara pintada
Ahora usa un cubo de 5 × 5 × 5, con las seis caras exteriores pintadas antes de cortarlo.
Cuenta solo cubos con una cara pintada. Excluye las aristas y esquinas, e incluye los centros de las seis caras.
Pruébalo
¿Cuántos cubos pequeños tienen exactamente una cara pintada en este cubo de 5 × 5 × 5?
- 54
- 96
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54
Sí. Cada cara tiene (5 − 2)² = 9 cubos fuera de sus aristas. Las seis caras dan 6 × 9 = 54.
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Practicar: Caras pintadas