색칠한 면의 수로 정육면체 세기

큰 정육면체의 밑면과 보이지 않는 면을 포함해 바깥 여섯 면을 먼저 모두 칠합니다. 그 뒤 같은 크기의 작은 정육면체로 자릅니다. 잘라서 생긴 면에는 색이 없습니다.

한 모서리의 작은 정육면체 수를 n이라 하겠습니다. 양 끝에서 하나씩 빼면 안쪽에 n − 2개가 남습니다.

위치별로 나누어 세세요. 다음 식은 n이 2 이상일 때 성립합니다.

• 색칠한 면이 없고 완전히 안쪽: (n − 2)³개.
• 한 면을 칠하고 모서리에서 떨어진 곳: 6 × (n − 2)²개.
• 두 면을 칠한 모서리에서 꼭짓점을 뺀 곳: 12 × (n − 2)개.
• 세 면을 칠한 꼭짓점: 8개.

한 모서리에 두 개씩이면 여덟 개가 모두 꼭짓점에 있습니다. 자르지 않아 한 모서리에 하나뿐인 정육면체는 여섯 면이 칠해지며, 문제에는 나오지 않습니다.

4 × 4 × 4 정육면체에서 정확히 두 면을 칠한 작은 정육면체를 셉니다. 열두 모서리에서 양 끝 꼭짓점을 빼면 각각 4 − 2 = 2개가 남습니다. 따라서 12 × 2 = 24개입니다.

모든 수평 층을 위에서 확인하세요. 점은 조건에 맞는 정육면체이며, 잘린 면에 색을 칠했다는 뜻이 아닙니다. 밑층과 맨 위층에 각각 8개, 가운데 두 층에 각각 4개가 있으므로 8 + 4 + 4 + 8 = 24개입니다.

이번에는 바깥 여섯 면을 모두 칠한 뒤 자른 5 × 5 × 5 정육면체입니다.

한 면만 칠한 정육면체를 세세요. 모서리와 꼭짓점을 빼고, 여섯 면의 가운데 부분을 모두 포함하세요.