色を塗った面の数で立方体を数える

大きな立方体の底や見えない面も含め、外側の6面すべてに先に色を塗ります。その後、同じ大きさの小さな立方体に切ります。切ってできた面には色がありません。

1辺に並ぶ小さな立方体の数をnとします。両端から1個ずつ除くと、内側にn − 2個残ります。

位置ごとに分けて数えます。次の式はnが2以上の場合に使えます。

• 色がなく完全に内側：(n − 2)³個。
• 1面に色があり、辺を除いた面の中央：6 × (n − 2)²個。
• 2面に色があり、頂点を除いた辺：12 × (n − 2)個。
• 3面に色がある頂点：8個。

1辺に2個なら、8個すべてが頂点にあります。切らない場合は1辺に1個で、その立方体の6面に色があります。この場合は問題に出ません。

4 × 4 × 4の立方体で、ちょうど2面に色がある小さな立方体を数えます。12本の辺から両端の頂点を除くと、各辺に4 − 2 = 2個残ります。したがって12 × 2 = 24個です。

すべての水平な層を上から確認します。点は条件に合う立方体を示し、切った面に色があるという意味ではありません。一番下と上の層は各8個、中央の2層は各4個なので、8 + 4 + 4 + 8 = 24個です。

今度は、外側の6面すべてに色を塗ってから切った5 × 5 × 5の立方体です。

1面だけに色がある立方体を数えます。辺と頂点を除き、6面すべての中央部分を含めてください。