Compter les cubes par faces peintes

Les six faces extérieures du grand cube sont peintes d’abord, y compris le dessous et les faces cachées. Il est ensuite découpé en petits cubes identiques. Les nouvelles faces coupées n’ont pas de peinture.

Appelez n le nombre de petits cubes par arête. En retirant un cube à chaque extrémité, il reste n − 2 positions intérieures.

Regroupez les cubes selon leur position. Ces nombres s’appliquent lorsque n vaut au moins 2 :

• Aucune peinture, entièrement à l’intérieur : (n − 2)³.
• Une face peinte, hors des arêtes : 6 × (n − 2)².
• Deux faces peintes, sur les arêtes sans les sommets : 12 × (n − 2).
• Trois faces peintes, aux sommets : 8.

Avec deux cubes par arête, les huit petits cubes sont aux sommets. Un cube non découpé, avec un cube par arête, a six faces peintes ; ce cas n’apparaît pas dans les questions.

Dans un cube de 4 × 4 × 4, comptez les petits cubes ayant exactement deux faces peintes. Chacune des douze arêtes contient 4 − 2 = 2 cubes après exclusion des deux sommets. Donc 12 × 2 = 24.

Vérifiez chaque couche horizontale vue de dessus. Les points marquent les cubes correspondants, pas des surfaces coupées peintes. Les couches du bas et du haut en apportent 8 chacune ; les deux couches intermédiaires, 4 chacune. Ainsi, 8 + 4 + 4 + 8 = 24.

Prenez maintenant un cube de 5 × 5 × 5, dont les six faces extérieures ont été peintes avant la découpe.

Comptez uniquement les cubes ayant une face peinte. Excluez les arêtes et les sommets, puis comptez les milieux des six faces.