Zähle Würfel nach bemalten Flächen

Zuerst werden alle sechs Außenflächen des großen Würfels bemalt, auch die Unterseite und die verdeckten Flächen. Dann wird er in gleich große kleine Würfel zerschnitten. Neue Schnittflächen haben keine Farbe.

n bezeichnet die Anzahl kleiner Würfel entlang jeder Kante. Entfernst du an beiden Enden je einen Würfel, bleiben n − 2 innere Positionen.

Gruppiere die Würfel nach ihrer Lage. Diese Anzahlen gelten für n ab 2:

• Keine Farbe, ganz im Inneren: (n − 2)³.
• Eine bemalte Fläche, abseits aller Kanten: 6 × (n − 2)².
• Zwei bemalte Flächen, an Kanten, aber nicht an Ecken: 12 × (n − 2).
• Drei bemalte Flächen, an den Ecken: 8.

Bei zwei Würfeln pro Kante liegen alle acht kleinen Würfel an Ecken. Ein unzerschnittener Würfel mit einem Würfel pro Kante hat sechs bemalte Flächen; dieser Fall kommt in den Fragen nicht vor.

Zähle bei einem 4 × 4 × 4-Würfel die kleinen Würfel mit genau zwei bemalten Flächen. Auf jeder der zwölf Kanten bleiben nach dem Ausschließen beider Ecken 4 − 2 = 2 Würfel. Also 12 × 2 = 24.

Prüfe jede waagerechte Schicht von oben. Punkte markieren die gesuchten Würfel, keine bemalten Schnittflächen. Die unterste und oberste Schicht liefern jeweils 8, die beiden mittleren jeweils 4. Damit gilt 8 + 4 + 4 + 8 = 24.

Nutze nun einen 5 × 5 × 5-Würfel, dessen sechs Außenflächen vor dem Zerschneiden bemalt wurden.

Zähle nur Würfel mit einer bemalten Fläche. Lass Kanten und Ecken weg und berücksichtige dann die inneren Bereiche aller sechs Außenflächen.