Conte cubos pelas faces pintadas

Primeiro, pintam-se as seis faces externas do cubo grande, incluindo a de baixo e as escondidas. Depois, ele é cortado em cubos pequenos iguais. As novas faces criadas pelo corte não têm tinta.

Seja n a quantidade de cubos pequenos em cada aresta. Tirar um cubo de cada ponta deixa n − 2 posições internas.

Agrupe os cubos pela posição. Estas contagens valem quando n é pelo menos 2:

• Sem tinta, totalmente internos: (n − 2)³.
• Uma face pintada, longe de todas as arestas: 6 × (n − 2)².
• Duas faces pintadas, nas arestas, sem os cantos: 12 × (n − 2).
• Três faces pintadas, nos cantos: 8.

Com dois cubos por aresta, os oito cubos pequenos são cantos. Um cubo sem cortes, com um por aresta, tem seis faces pintadas; esse caso não aparece nas perguntas.

Em um cubo de 4 × 4 × 4, conte os cubos pequenos com exatamente duas faces pintadas. Cada uma das doze arestas tem 4 − 2 = 2 cubos após excluir os dois cantos. Assim, 12 × 2 = 24.

Confira cada camada horizontal de cima. Os pontos marcam os cubos correspondentes, não superfícies de corte pintadas. A camada inferior e a superior contribuem com 8 cada; as duas do meio, com 4 cada. Logo, 8 + 4 + 4 + 8 = 24.

Agora use um cubo de 5 × 5 × 5, com as seis faces externas pintadas antes do corte.

Conte apenas os cubos com uma face pintada. Exclua as arestas e os cantos e inclua o interior das seis faces.