Die Lösungsmenge erhalten

Löse $\frac{x - 2}{x - 5} \leq 0$. Der Zähler ist bei $2$ null. Der Nenner ist bei $5$ null; dieser Wert muss ausgeschlossen werden.

Für $x < 2$ sind beide Faktoren negativ, also ist der Quotient positiv. Zwischen $2$ und $5$ ist der Zähler positiv und der Nenner negativ, also ist der Quotient negativ. Oberhalb von $5$ sind beide positiv.

Schließe $x = 2$ ein, weil der Zähler null sein darf. Schließe $x = 5$ aus, weil Division durch null nie zulässig ist. Die vollständige Antwort lautet $2 \leq x < 5$.

Multipliziere nicht mit $x - 5$, bevor du sein Vorzeichen berücksichtigt hast. Außerdem bezeichnet $x \in \{2, 5\}$ zwei einzelne Werte, nicht das Intervall dazwischen. Das Symbol $\cup$ verbindet alternative Intervalle.

Dieselbe Einschränkung gilt bei einer Gleichung. Notiere für $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0$ zunächst $x \ne 5$. Der Zähler lässt sich als $(x - 2)(x - 5)$ faktorisieren; daraus ergeben sich die Kandidaten $2$ und $5$. Nur $2$ bleibt gültig: $5$ macht den ursprünglichen Nenner null. Das Beseitigen eines Nenners liefert Kandidaten; die Prüfung der ursprünglichen Gleichung entscheidet, welche davon Lösungen sind.

Löse nun $\lvert x - 3 \rvert \geq 2$. Der Betrag ist ein Abstand: $x$ muss mindestens $2$ Einheiten von $3$ entfernt sein.

Die Grenzwerte sind $1$ und $5$. Entscheide, ob die zulässigen Punkte zwischen den Grenzen oder außerhalb liegen. An beiden Grenzen ist Gleichheit zulässig.

Enthält die andere Seite ebenfalls die Variable, prüfe vor der Fallunterscheidung ihr Vorzeichen. Fordere bei $\lvert 3x - 7 \rvert = x + 3$ die Bedingung $x \geq -3$. Der nichtnegative Fall ergibt $3x - 7 = x + 3$, also $x = 5$. Der negative Fall ergibt $-3x + 7 = x + 3$, also $x = 1$. Einsetzen bestätigt $\lvert 8 \rvert = 8$ und $\lvert -4 \rvert = 4$; beide Lösungen sind gültig.