Conserva el conjunto de soluciones

Resuelve $\frac{x - 2}{x - 5} \leq 0$. El numerador es cero en $2$. El denominador es cero en $5$, que debe excluirse.

Para $x < 2$, ambos factores son negativos, así que el cociente es positivo. Entre $2$ y $5$, el numerador es positivo y el denominador negativo, por lo que el cociente es negativo. Por encima de $5$, ambos son positivos.

Incluye $x = 2$ porque se permite un numerador cero. Excluye $x = 5$ porque nunca se permite dividir por cero. La respuesta completa es $2 \leq x < 5$.

No multipliques por $x - 5$ sin considerar antes su signo. Además, $x \in \{2, 5\}$ representa dos valores individuales, no el intervalo entre ellos. El símbolo $\cup$ une intervalos alternativos.

La misma restricción importa en una ecuación. Para $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0$, anota $x \ne 5$. El numerador se factoriza como $(x - 2)(x - 5)$, lo que sugiere los candidatos $2$ y $5$. Solo queda $2$: $5$ anula el denominador original. Eliminar un denominador encuentra candidatos; comprobar la expresión original decide cuáles son soluciones.

Resuelve ahora $\lvert x - 3 \rvert \geq 2$. El valor absoluto es una distancia: $x$ debe estar al menos a $2$ unidades de $3$.

Los valores límite son $1$ y $5$. Decide si los puntos permitidos están entre los límites o fuera de ellos. Se permite la igualdad en ambos límites.

Si el otro miembro también contiene la variable, comprueba su signo antes de separar los casos. En $\lvert 3x - 7 \rvert = x + 3$, exige $x \geq -3$. La rama no negativa da $3x - 7 = x + 3$, así que $x = 5$. La rama negativa da $-3x + 7 = x + 3$, así que $x = 1$. La sustitución confirma $\lvert 8 \rvert = 8$ y $\lvert -4 \rvert = 4$; ambas raíces son válidas.