Vereinfachen, ohne Einschränkungen zu verlieren

Vor dem Rechnen die Struktur erkennen

$3x + 5x$ wird zu $8x$ , weil beide Terme Vielfache derselben Variablen sind. Verteile in $3(x + 5)$ den Faktor $3$ auf beide Terme: $3x + 15$ .

Bei einem Quadrat bedeutet $(x + 3)^2$ dasselbe wie $(x + 3)(x + 3)$ . Ausmultipliziert ergibt sich $x^2 + 6x + 9$ . Der mittlere Term entsteht aus zwei Kreuzprodukten.

Bei ganzzahligen Potenzen derselben Basis ungleich null werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert und beim Dividieren subtrahiert. Beim Potenzieren einer Potenz mit einem weiteren ganzzahligen Exponenten werden sie multipliziert. Das sind drei verschiedene Rechenoperationen.

Eine Wurzel geraden Grades liefert den nichtnegativen Wert. Daher gilt $\sqrt{(x - 2)^2} = \lvert x - 2 \rvert$ . Bei $x = 1$ ist die Wurzel $1$ , während $x - 2 = -1$ . In einem Quotienten gilt $\frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{(x - 2)^2} = \frac{1}{\lvert x - 2 \rvert}$ nur für $x \ne 2$ . Behalte sowohl den Betrag als auch den ausgeschlossenen Punkt bei.

x^2 \cdot x^3 = x^5

\frac{x^5}{x^2} = x^3

(x^2)^3 = x^6

Bestimme die Rechenoperation, bevor du die Potenzregel wählst.

Faktoren kürzen und die Definitionslücke erhalten

Vereinfache $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Notiere zuerst $x \ne 3$ , weil der ursprüngliche Nenner nicht null sein darf.

Faktorisiere $x^2 - 9$ als $(x - 3)(x + 3)$ . Kürze den gemeinsamen Faktor $x - 3$ nur für zulässige $x$ . Die vereinfachte Formel lautet $x + 3$ , weiterhin mit $x \ne 3$ .

Bei $x = 3$ liefert die vereinfachte Formel $6$ , aber der ursprüngliche Bruch ist $\frac{0}{0}$ und nicht definiert. Ein äquivalenter Term muss diese Einschränkung beibehalten. Kürzen schließt die Definitionslücke nicht.

Schließe bei $\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}$ die Werte $3$ und $-3$ aus und verwende den gemeinsamen Nenner $x^2 - 9$ . Der Zähler ist $(x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 3)$ . Durch Ausmultiplizieren und Subtrahieren des gesamten zweiten Produkts heben sich die quadratischen und konstanten Terme auf; übrig bleibt $10x$ . Das Ergebnis ist $\frac{10x}{x^2 - 9}$ , wobei beide Ausschlüsse bestehen bleiben.

\frac{x^2 - 9}{x - 3}

x + 3;\quad x \ne 3

Die Formel wird kürzer; ihre ursprüngliche Einschränkung bleibt bestehen.

Eine Beziehung direkt nutzen

Es gelten $x > 0$ und $x + \frac{1}{x} = 5$ . Bestimme $x^2 + \frac{1}{x^2}$ , ohne nach $x$ aufzulösen.

Quadriere die gegebene Summe. Der mittlere Term ist $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$ . Ziehe diesen Kreuzterm ab, damit die gesuchte Größe übrig bleibt.

x + \frac{1}{x} = 5

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25

Der Kreuzterm hat einen festen Wert, obwohl x unbekannt ist.

Probier es aus

Wenn $x > 0$ und $x + \frac{1}{x} = 5$ gelten, was ist $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ?

$23$
$25$

Antwort anzeigen

$23$

Quadrieren ergibt $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$ . Subtrahiere also $2$ und erhalte $23$ .

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