解の集合を保って解く

$\frac{x - 2}{x - 5} \leq 0$を解きます。分子は$2$で0です。分母は$5$で0になるので、その値は除く必要があります。

$x < 2$では両因数が負なので、比は正です。$2$と$5$の間では分子が正、分母が負なので、比は負です。$5$より大きいと両方が正になります。

分子が0でもよいので$x = 2$を含めます。0で割ることはできないので$x = 5$を除きます。すべての解は$2 \leq x < 5$です。

$x - 5$を、その符号を考えずに掛けないでください。また、$x \in \{2, 5\}$は2つの個別の値を表し、その間の区間ではありません。記号$\cup$は、どちらかを満たせばよい区間をつなぎます。

方程式でも同じ制限が重要です。$\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0$では$x \ne 5$を記録します。分子は$(x - 2)(x - 5)$と因数分解でき、候補$2$と$5$が得られます。$5$では元の分母が0になるため、残るのは$2$だけです。分母を払って候補を見つけ、元の式を確かめて実際の解を決めます。

次に$\lvert x - 3 \rvert \geq 2$を解きます。絶対値は距離なので、$x$は$3$から少なくとも$2$離れている必要があります。

境界の値は$1$と$5$です。許される点が境界の間にあるのか、外側にあるのか判断しましょう。両方の境界で等号が許されます。

もう一方の辺にも変数がある場合、場合分けの前にその符号を確認します。$\lvert 3x - 7 \rvert = x + 3$では$x \geq -3$が必要です。絶対値の中が0以上の場合、$3x - 7 = x + 3$から$x = 5$です。負の場合は$-3x + 7 = x + 3$から$x = 1$です。代入すると$\lvert 8 \rvert = 8$と$\lvert -4 \rvert = 4$が確認でき、両方とも有効な解です。