Conservare l’insieme delle soluzioni

Risolvi $\frac{x - 2}{x - 5} \leq 0$. Il numeratore è nullo in $2$. Il denominatore è nullo in $5$, che va escluso.

Per $x < 2$, entrambi i fattori sono negativi, quindi il rapporto è positivo. Tra $2$ e $5$, il numeratore è positivo e il denominatore negativo: il rapporto è negativo. Sopra $5$, entrambi sono positivi.

Includi $x = 2$, perché un numeratore nullo è ammesso. Escludi $x = 5$, perché dividere per zero non è mai consentito. La risposta completa è $2 \leq x < 5$.

Non moltiplicare per $x - 5$ prima di studiarne il segno. Inoltre, $x \in \{2, 5\}$ indica due singoli valori, non l’intervallo tra essi. Il simbolo $\cup$ unisce intervalli alternativi.

La stessa condizione conta in un’equazione. Per $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0$, annota $x \ne 5$. Il numeratore si scompone in $(x - 2)(x - 5)$, suggerendo i candidati $2$ e $5$. Resta valido solo $2$: $5$ annulla il denominatore iniziale. Eliminare il denominatore trova candidati; verificare l’originale determina le soluzioni.

Ora risolvi $\lvert x - 3 \rvert \geq 2$. Il valore assoluto è una distanza: $x$ deve trovarsi ad almeno $2$ unità da $3$.

Gli estremi sono $1$ e $5$. Decidi se i punti ammessi sono tra gli estremi o all’esterno. L’uguaglianza è ammessa in entrambi.

Se anche l’altro membro contiene la variabile, controllane il segno prima di separare i casi. In $\lvert 3x - 7 \rvert = x + 3$, imponi $x \geq -3$. Il ramo non negativo dà $3x - 7 = x + 3$, quindi $x = 5$. Il ramo negativo dà $-3x + 7 = x + 3$, quindi $x = 1$. La sostituzione conferma $\lvert 8 \rvert = 8$ e $\lvert -4 \rvert = 4$: entrambe le radici sono valide.