Preserve o conjunto de soluções

Resolva $\frac{x - 2}{x - 5} \leq 0$. O numerador é zero em $2$. O denominador é zero em $5$, que deve ser excluído.

Para $x < 2$, os dois fatores são negativos, então o quociente é positivo. Entre $2$ e $5$, o numerador é positivo e o denominador negativo, então o quociente é negativo. Acima de $5$, ambos são positivos.

Inclua $x = 2$, pois o numerador pode ser zero. Exclua $x = 5$, pois dividir por zero nunca é permitido. A resposta completa é $2 \leq x < 5$.

Não multiplique por $x - 5$ antes de considerar seu sinal. Além disso, $x \in \{2, 5\}$ representa dois valores individuais, não o intervalo entre eles. O símbolo $\cup$ une intervalos alternativos.

A mesma restrição importa em uma equação. Para $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0$, registre $x \ne 5$. O numerador se fatora como $(x - 2)(x - 5)$, sugerindo os candidatos $2$ e $5$. Apenas $2$ continua válido: $5$ zera o denominador original. Eliminar um denominador encontra candidatos; verificar a expressão original decide quais são soluções.

Agora resolva $\lvert x - 3 \rvert \geq 2$. O módulo é uma distância: $x$ deve estar a pelo menos $2$ unidades de $3$.

Os valores de fronteira são $1$ e $5$. Decida se os pontos permitidos estão entre as fronteiras ou fora delas. A igualdade é permitida nas duas fronteiras.

Quando o outro membro também contém a variável, verifique seu sinal antes de separar os casos. Em $\lvert 3x - 7 \rvert = x + 3$, exija $x \geq -3$. O ramo não negativo dá $3x - 7 = x + 3$, então $x = 5$. O ramo negativo dá $-3x + 7 = x + 3$, então $x = 1$. A substituição confirma $\lvert 8 \rvert = 8$ e $\lvert -4 \rvert = 4$; as duas raízes são válidas.