Behoud de oplossingsverzameling

Los $\frac{x - 2}{x - 5} \leq 0$ op. De teller is nul bij $2$. De noemer is nul bij $5$; die waarde moet worden uitgesloten.

Bij $x < 2$ zijn beide factoren negatief, dus is het quotiënt positief. Tussen $2$ en $5$ is de teller positief en de noemer negatief, dus is het quotiënt negatief. Boven $5$ zijn beide positief.

Neem $x = 2$ mee, want een teller van nul mag. Sluit $x = 5$ uit, want delen door nul mag nooit. Het volledige antwoord is $2 \leq x < 5$.

Vermenigvuldig niet met $x - 5$ vóór je het teken onderzoekt. Verder noemt $x \in \{2, 5\}$ twee losse waarden, niet het interval ertussen. Het symbool $\cup$ verbindt alternatieve intervallen.

Dezelfde beperking geldt in een vergelijking. Noteer bij $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0$ eerst $x \ne 5$. De teller ontbindt als $(x - 2)(x - 5)$, met kandidaten $2$ en $5$. Alleen $2$ blijft over: $5$ maakt de oorspronkelijke noemer nul. Een noemer wegwerken levert kandidaten; controle in het origineel bepaalt de oplossingen.

Los nu $\lvert x - 3 \rvert \geq 2$ op. Absolute waarde is afstand: $x$ moet minstens $2$ eenheden van $3$ liggen.

De grenswaarden zijn $1$ en $5$. Bepaal of de toegestane punten ertussen of erbuiten liggen. Gelijkheid is op beide grenzen toegestaan.

Als de andere kant ook de variabele bevat, controleer dan het teken vóór je gevallen splitst. Vereis in $\lvert 3x - 7 \rvert = x + 3$ eerst $x \geq -3$. De niet-negatieve tak geeft $3x - 7 = x + 3$, dus $x = 5$. De negatieve tak geeft $-3x + 7 = x + 3$, dus $x = 1$. Invullen bevestigt $\lvert 8 \rvert = 8$ en $\lvert -4 \rvert = 4$; beide wortels zijn geldig.