Conserver l’ensemble des solutions

Résolvez $\frac{x - 2}{x - 5} \leq 0$. Le numérateur est nul en $2$. Le dénominateur est nul en $5$, qui doit être exclu.

Pour $x < 2$, les deux facteurs sont négatifs, donc le quotient est positif. Entre $2$ et $5$, le numérateur est positif et le dénominateur négatif : le quotient est négatif. Au-dessus de $5$, les deux sont positifs.

Incluez $x = 2$, car un numérateur nul est permis. Excluez $x = 5$, car diviser par zéro est toujours interdit. La réponse complète est $2 \leq x < 5$.

Ne multipliez pas par $x - 5$ avant d’étudier son signe. De plus, $x \in \{2, 5\}$ désigne deux valeurs distinctes, pas l’intervalle entre elles. Le symbole $\cup$ réunit des intervalles alternatifs.

La même restriction compte dans une équation. Pour $\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0$, notez $x \ne 5$. Le numérateur se factorise en $(x - 2)(x - 5)$, d’où les candidats $2$ et $5$. Seul $2$ reste valide : $5$ annule le dénominateur initial. Éliminer le dénominateur donne des candidats ; vérifier l’original détermine les solutions.

Résolvez maintenant $\lvert x - 3 \rvert \geq 2$. La valeur absolue est une distance : $x$ doit être à au moins $2$ unités de $3$.

Les bornes sont $1$ et $5$. Déterminez si les points permis sont entre ces bornes ou à l’extérieur. L’égalité est permise aux deux bornes.

Si l’autre membre contient aussi la variable, vérifiez son signe avant de séparer les cas. Dans $\lvert 3x - 7 \rvert = x + 3$, imposez $x \geq -3$. La branche non négative donne $3x - 7 = x + 3$, donc $x = 5$. La branche négative donne $-3x + 7 = x + 3$, donc $x = 1$. La substitution confirme $\lvert 8 \rvert = 8$ et $\lvert -4 \rvert = 4$ : les deux racines sont valides.