Repérez ce qui ne change pas
Dans chaque problème, une quantité reste la même pendant que les autres évoluent. Une fois repérée, elle permet de traduire l’énoncé par une équation.
Mélanges : la quantité de sel
Vitesse : la distance
Travail : la part accomplie
Dénombrement : les choix à chaque étape
Commencez par nommer ce que vous cherchez. Écrivez de part et d’autre du signe égal la quantité qui se conserve. Résolvez, puis vérifiez l’unité : grammes, kilomètres, minutes, heures ou possibilités.
Deux problèmes, une équation pour chacun
On mélange 300 g d’eau salée à 8 % avec 200 g à 13 %. Quelle est la concentration finale ?
300 × 8 ÷ 100 = 24 g de sel
200 × 13 ÷ 100 = 26 g de sel
(24 + 26) ÷ 500 × 100 = 10 %
Deux personnes sont séparées par 24 km et marchent l’une vers l’autre à 5 km/h et 7 km/h. Au bout de combien de temps se rencontrent-elles ?
La distance diminue à 5 + 7 = 12 km/h
24 ÷ 12 = 2 heures, soit 120 minutes
Dans le premier problème, la quantité de sel se conserve. Dans le second, les distances parcourues doivent totaliser les 24 km initiaux. La distance restante diminue. On additionne les vitesses, pas les durées.
Écrire le modèle avant de calculer
Une location coûte 12 crédits, plus 4 par heure. Un total de 36 crédits donne 12 + 4x = 36, où x est le nombre d’heures. Soustrayez les frais fixes avant de diviser par le tarif horaire.
x = (36 − 12) ÷ 4 = 6
Huit billets coûtent 41 crédits. Les billets au tarif normal coûtent 7 et ceux à tarif réduit 4. On note x et y leurs nombres respectifs. Utilisez le nombre de billets et le coût, pas un seul total.
x + y = 8; 7x + 4y = 41
3x = 41 − 4 × 8 = 9; x = 3; y = 5
Soustrayez quatre fois l’équation des quantités de l’équation du coût. Trois billets au tarif normal et cinq à tarif réduit satisfont les deux totaux de départ.
Une solution bien mélangée de 200 g contient 10 % de sel, soit 20 g. Retirer 50 g enlève 5 g de sel. Remplacez-les par 50 g d’eau pure. Il reste 15 g de sel dans 200 g, soit 7,5 %.
10% × (150 ÷ 200) = 7,5%
Vérification : après avoir mélangé, répétez le retrait de 50 g et leur remplacement par de l’eau. Quel est le nouveau pourcentage de sel ?
Le deuxième retrait conserve les trois quarts du sel restant. Le résultat est 5,625 %, pas 5 % : chaque retrait utilise la concentration du moment.
7,5% × (150 ÷ 200) = 5,625%
Mettez-en un autre en équation
Travaillez avec les débits, pas avec les durées. Représentez le réservoir par 12 parts. Le premier tuyau remplit 2 parts par heure et le second, 1.
À vous d’essayer
Un tuyau remplit un réservoir en 6 heures et un autre en 12 heures. Combien de temps leur faut-il ensemble ?
- 4 heures
- 9 heures
Voir la réponse
4 heures
2 + 1 = 3 parts par heure et 12 ÷ 3 = 4 heures. Les débits s’additionnent, donc les deux tuyaux sont plus rapides que chacun séparément.
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S’entraîner : Problèmes de raisonnement numérique