Simplifique sem perder restrições

Identifique a estrutura antes de calcular

$3x + 5x$ se torna $8x$ porque os dois termos são múltiplos da mesma variável. Em $3(x + 5)$ , distribua $3$ pelos dois termos: $3x + 15$ .

Em um quadrado, $(x + 3)^2$ significa $(x + 3)(x + 3)$ . Sua expansão é $x^2 + 6x + 9$ . O termo central vem de dois produtos cruzados.

Para potências com expoentes inteiros e a mesma base não nula, multiplique somando expoentes, divida subtraindo-os e eleve uma potência a outro expoente inteiro multiplicando os expoentes. São três operações diferentes.

Uma raiz de índice par usa o resultado não negativo. Assim, $\sqrt{(x - 2)^2} = \lvert x - 2 \rvert$ . Em $x = 1$ , a raiz é $1$ , enquanto $x - 2 = -1$ . Em um quociente, $\frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{(x - 2)^2} = \frac{1}{\lvert x - 2 \rvert}$ apenas para $x \ne 2$ . Mantenha tanto o módulo quanto o ponto excluído.

x^2 \cdot x^3 = x^5

\frac{x^5}{x^2} = x^3

(x^2)^3 = x^6

Identifique a operação antes de escolher a regra dos expoentes.

Cancele fatores e mantenha o ponto excluído

Simplifique $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Primeiro registre $x \ne 3$ , pois o denominador original não pode ser zero.

Fatore $x^2 - 9$ como $(x - 3)(x + 3)$ . Cancele o fator comum $x - 3$ apenas para valores permitidos de $x$ . A fórmula simplificada é $x + 3$ , ainda com $x \ne 3$ .

Em $x = 3$ , a fórmula simplificada dá $6$ , mas a fração original é $\frac{0}{0}$ e não está definida. Uma expressão equivalente deve manter essa restrição. Cancelar não preenche o ponto excluído.

Para $\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}$ , exclua $3$ e $-3$ e use o denominador comum $x^2 - 9$ . O numerador é $(x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 3)$ . Expandir e subtrair todo o segundo produto cancela os termos quadráticos e constantes, restando $10x$ . O resultado é $\frac{10x}{x^2 - 9}$ , mantendo as duas exclusões.

\frac{x^2 - 9}{x - 3}

x + 3;\quad x \ne 3

A fórmula fica mais curta; a restrição original permanece.

Use uma relação diretamente

Suponha $x > 0$ e $x + \frac{1}{x} = 5$ . Encontre $x^2 + \frac{1}{x^2}$ sem resolver para $x$ .

Eleve a soma dada ao quadrado. O termo central é $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$ . Retire esse termo cruzado para deixar a quantidade solicitada.

x + \frac{1}{x} = 5

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25

O termo cruzado tem um valor fixo mesmo que x seja desconhecido.

Sua vez

Se $x > 0$ e $x + \frac{1}{x} = 5$ , qual é o valor de $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ?

$23$
$25$

Mostrar a resposta

$23$

Elevar ao quadrado dá $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$ , então subtraia $2$ para obter $23$ .

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