制限を保って式を簡単にする

$\frac{x^2 - 9}{x - 3}$を簡単にします。元の分母は0にできないので、まず$x \ne 3$を記録します。

$x^2 - 9$を$(x - 3)(x + 3)$と因数分解します。許される$x$についてだけ、共通因数$x - 3$を約分します。簡単にした式は$x + 3$ですが、$x \ne 3$は依然として必要です。

$x = 3$では簡単にした式の値は$6$ですが、元の分数は$\frac{0}{0}$で定義されません。同値な式はこの制限を保つ必要があります。約分しても、除かれた点は埋まりません。

$\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}$では$3$と$-3$を除き、共通分母$x^2 - 9$を使います。分子は$(x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 3)$です。展開し、2つ目の積全体を引くと、2乗の項と定数項が消えて$10x$が残ります。結果は$\frac{10x}{x^2 - 9}$で、両方の除外条件を保ちます。

$x > 0$かつ$x + \frac{1}{x} = 5$とします。$x$を解かずに、$x^2 + \frac{1}{x^2}$を求めましょう。

与えられた和を2乗します。中央の項は$2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$です。この交差項を引くと、求める量が残ります。