Einen Vergleich beweisen oder ein Gegenbeispiel finden

Eine reelle Lösung kann eine verborgene Schranke erzwingen

Ein fester Vergleich muss für jeden Wert gelten, den die Bedingungen zulassen. Lies alle Bedingungen zusammen: Ein Parameter in einer Gleichung darf nicht unbedingt jeden beliebigen Wert annehmen.

Seien x und a reell, und es gelten $x^2-6x+a=0$ und $x\ne3$ . Quadratische Ergänzung ergibt $(x-3)^2=9-a$ . Die linke Seite ist strikt positiv, weil x von 3 verschieden ist. Daher gilt $9>a$ , also ist Größe A für jede zulässige Lösung größer.

Ohne die Einschränkung $x\ne3$ wären auch $x=3$ und $a=9$ zulässig. Die Schranke würde zu $a\le9$ , und Gleichheit müsste gesondert geprüft werden.

Größe A

9

Größe B

a

Vergleiche bei

x^2-6x+a=0

mit

x\ne3

die Werte 9 und a.

Eine Schranke legt nicht jeden Vergleich fest

Lasse x und a reell und behalte $x^2-6x+a=0$ bei, erlaube aber auch $x=3$ . Vergleiche nun a mit 8. Die Schranke $a\le9$ allein entscheidet diesen Vergleich nicht.

Für $x=3$ ergibt die Gleichung $a=9>8$ . Für $x=\frac72$ ergibt sie $a=\frac{35}{4}>8$ . In beiden Beispielen ist A größer als B. Sie zeigen, was passieren kann, nicht was immer passieren muss.

Für $x=5$ ergibt dieselbe Gleichung $a=5<8$ . Dieser gültige Fall kehrt den Vergleich um. Die Beziehung lässt sich nicht bestimmen. Zwei übereinstimmende Beispiele ersetzen niemals einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Größe A

a

Größe B

8

Vergleiche bei

x^2-6x+a=0

für reelle x und a den Wert a mit 8.

Prüfen, wann bei einer Betragsschranke Gleichheit gilt

Seien x und y reell mit $(x-3)(y-3)\ne0$ . Vergleiche die Summe der beiden einzelnen Beträge mit dem Betrag ihrer Summe.

Setze $u=x-3$ und $v=y-3$ . Beide verschobenen Werte sind ungleich null, aber die Bedingung verrät ihre Vorzeichen nicht. Vergleiche ein Paar mit entgegengesetzten Vorzeichen mit einem Paar gleicher Vorzeichen. Gilt in beiden Fällen dieselbe Beziehung?

Größe A

\left|x - 3\right| + \left|y - 3\right|

Größe B

\left|x + y - 6\right|

Vergleiche bei

(x-3)(y-3)\ne0

die einzelnen Beträge mit dem Betrag ihrer Summe.

Probier es aus

Wenn x und y reell sind und $(x-3)(y-3)\ne0$ gilt, vergleiche $A=\lvert x-3\rvert+\lvert y-3\rvert$ mit $B=\lvert x+y-6\rvert$ .

Größe A ist immer größer
Die Beziehung lässt sich nicht bestimmen

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Die Beziehung lässt sich nicht bestimmen

Bei $x=2,y=5$ gilt $A=3,B=1$ . Bei $x=4,y=5$ gilt $A=B=3$ . Beide Paare erfüllen die Bedingung eines Produkts ungleich null. A ist stets mindestens so groß wie B. Da A in einem Fall größer und in einem anderen gleich B ist, lässt sich die Beziehung nicht bestimmen.

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