제한 조건을 유지하며 식 간단히 하기

계산하기 전에 식의 구조 파악하기

$3x + 5x$ 은 두 항이 같은 변수의 배수이므로 $8x$ 이 됩니다. $3(x + 5)$ 에서는 $3$ 을 두 항 모두에 분배하면 $3x + 15$ 입니다.

제곱에서 $(x + 3)^2$ 는 $(x + 3)(x + 3)$ 을 뜻합니다. 전개하면 $x^2 + 6x + 9$ 입니다. 가운데 항은 두 교차 곱에서 생깁니다.

밑이 같고 0이 아닌 정수 지수의 거듭제곱끼리 곱할 때는 지수를 더하고, 나눌 때는 지수를 뺍니다. 이를 다시 정수 지수로 거듭제곱할 때는 지수를 곱합니다. 세 가지 서로 다른 연산입니다.

짝수근의 근호는 음이 아닌 값을 나타냅니다. 따라서 $\sqrt{(x - 2)^2} = \lvert x - 2 \rvert$ 입니다. $x = 1$ 일 때 근호의 값은 $1$ 이지만 $x - 2 = -1$ 입니다. 비에서는 $x \ne 2$ 일 때만 $\frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{(x - 2)^2} = \frac{1}{\lvert x - 2 \rvert}$ 입니다. 절댓값과 제외된 점을 모두 유지하세요.

x^2 \cdot x^3 = x^5

\frac{x^5}{x^2} = x^3

(x^2)^3 = x^6

지수법칙을 고르기 전에 연산을 구별하세요.

인수를 약분해도 제외된 점은 유지하기

$\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 을 간단히 합니다. 원래 분모는 0일 수 없으므로 먼저 $x \ne 3$ 을 기록하세요.

$x^2 - 9$ 를 $(x - 3)(x + 3)$ 으로 인수분해합니다. 허용되는 $x$ 에서만 공통인수 $x - 3$ 를 약분하세요. 간단히 한 식은 $x + 3$ 이며 $x \ne 3$ 은 여전히 필요합니다.

$x = 3$ 에서 간단히 한 식은 $6$ 이지만 원래 분수는 $\frac{0}{0}$ 으로 정의되지 않습니다. 동치식은 이 제한을 유지해야 합니다. 약분해도 빠진 점이 채워지지는 않습니다.

$\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}$ 에서는 $3$ 와 $-3$ 을 제외하고 공통분모 $x^2 - 9$ 를 사용합니다. 분자는 $(x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 3)$ 입니다. 전개하고 둘째 곱 전체를 빼면 제곱항과 상수항이 소거되어 $10x$ 이 남습니다. 결과는 $\frac{10x}{x^2 - 9}$ 이며 두 제외 조건을 모두 유지합니다.

\frac{x^2 - 9}{x - 3}

x + 3;\quad x \ne 3

식은 짧아져도 원래의 제한은 남습니다.

주어진 관계를 바로 활용하기

$x > 0$ 이고 $x + \frac{1}{x} = 5$ 이라고 합시다. $x$ 을 구하지 않고 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 를 구해 보세요.

주어진 합을 제곱합니다. 가운데 항은 $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$ 입니다. 이 교차항을 빼면 구하려는 양만 남습니다.

x + \frac{1}{x} = 5

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25

x를 몰라도 교차항의 값은 정해져 있습니다.

풀어 보기

$x > 0$ 이고 $x + \frac{1}{x} = 5$ 이면 $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 는 얼마인가요?

$23$
$25$

정답 보기

$23$

제곱하면 $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$ 이므로 $2$ 만큼 빼면 $23$ 입니다.

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