Simplifier sans perdre les restrictions

Reconnaître la structure avant de calculer

$3x + 5x$ devient $8x$ , car les deux termes sont des multiples de la même variable. Dans $3(x + 5)$ , distribuez $3$ aux deux termes : $3x + 15$ .

Pour un carré, $(x + 3)^2$ signifie $(x + 3)(x + 3)$ . Le développement est $x^2 + 6x + 9$ . Le terme central vient de deux produits croisés.

Pour les puissances à exposants entiers de même base non nulle, additionnez les exposants pour multiplier, soustrayez-les pour diviser et multipliez-les pour élever une puissance à un autre exposant entier. Ce sont trois opérations différentes.

Une racine d’ordre pair prend la valeur non négative. Donc $\sqrt{(x - 2)^2} = \lvert x - 2 \rvert$ . Pour $x = 1$ , la racine vaut $1$ , tandis que $x - 2 = -1$ . Dans un quotient, $\frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{(x - 2)^2} = \frac{1}{\lvert x - 2 \rvert}$ seulement pour $x \ne 2$ . Conservez la valeur absolue et le point exclu.

x^2 \cdot x^3 = x^5

\frac{x^5}{x^2} = x^3

(x^2)^3 = x^6

Identifiez l’opération avant de choisir la règle des exposants.

Simplifier les facteurs, conserver le point exclu

Simplifiez $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Notez d’abord $x \ne 3$ , car le dénominateur initial ne peut pas être nul.

Factorisez $x^2 - 9$ en $(x - 3)(x + 3)$ . Simplifiez le facteur commun $x - 3$ uniquement pour les $x$ permis. La formule simplifiée est $x + 3$ , toujours avec $x \ne 3$ .

Pour $x = 3$ , la formule simplifiée donne $6$ , mais la fraction initiale vaut $\frac{0}{0}$ et n’est pas définie. Une expression équivalente doit conserver cette restriction. Simplifier ne comble pas le point manquant.

Pour $\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}$ , excluez $3$ et $-3$ , puis prenez le dénominateur commun $x^2 - 9$ . Le numérateur est $(x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 3)$ . Développer et soustraire tout le second produit annule les carrés et les constantes : il reste $10x$ . Le résultat est $\frac{10x}{x^2 - 9}$ , avec les deux exclusions conservées.

\frac{x^2 - 9}{x - 3}

x + 3;\quad x \ne 3

La formule raccourcit ; sa restriction initiale reste valable.

Utiliser directement une relation

Supposez $x > 0$ et $x + \frac{1}{x} = 5$ . Trouvez $x^2 + \frac{1}{x^2}$ sans résoudre pour $x$ .

Élevez la somme donnée au carré. Le terme central est $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$ . Retirez ce terme croisé pour obtenir la quantité demandée.

x + \frac{1}{x} = 5

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25

Le terme croisé a une valeur fixe même si x est inconnu.

À vous d’essayer

Si $x > 0$ et $x + \frac{1}{x} = 5$ , que vaut $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ?

$23$
$25$

Voir la réponse

$23$

Le carré donne $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$ ; soustrayez donc $2$ pour obtenir $23$ .

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