Semplificare senza perdere le condizioni

Riconoscere la struttura prima di calcolare

$3x + 5x$ diventa $8x$ , perché entrambi i termini sono multipli della stessa variabile. In $3(x + 5)$ , distribuisci $3$ su entrambi i termini: $3x + 15$ .

Per un quadrato, $(x + 3)^2$ significa $(x + 3)(x + 3)$ . Lo sviluppo è $x^2 + 6x + 9$ . Il termine centrale deriva da due prodotti incrociati.

Per potenze con esponenti interi e la stessa base non nulla, somma gli esponenti per moltiplicare, sottraili per dividere e moltiplicali per elevare una potenza a un altro esponente intero. Sono tre operazioni diverse.

Una radice di indice pari usa il risultato non negativo. Quindi $\sqrt{(x - 2)^2} = \lvert x - 2 \rvert$ . Per $x = 1$ , la radice è $1$ , mentre $x - 2 = -1$ . In un rapporto, $\frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{(x - 2)^2} = \frac{1}{\lvert x - 2 \rvert}$ solo per $x \ne 2$ . Mantieni il valore assoluto e il punto escluso.

x^2 \cdot x^3 = x^5

\frac{x^5}{x^2} = x^3

(x^2)^3 = x^6

Identifica l’operazione prima di scegliere la regola degli esponenti.

Semplificare i fattori, mantenere il punto escluso

Semplifica $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Annota prima $x \ne 3$ , perché il denominatore iniziale non può essere nullo.

Scomponi $x^2 - 9$ in $(x - 3)(x + 3)$ . Semplifica il fattore comune $x - 3$ solo per i valori ammessi di $x$ . La formula semplificata è $x + 3$ , sempre con $x \ne 3$ .

Per $x = 3$ , la formula semplificata dà $6$ , ma la frazione iniziale è $\frac{0}{0}$ e non è definita. Un’espressione equivalente deve mantenere questa condizione. Semplificare non riempie il punto mancante.

Per $\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}$ , escludi $3$ e $-3$ , poi usa il denominatore comune $x^2 - 9$ . Il numeratore è $(x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 3)$ . Sviluppando e sottraendo l’intero secondo prodotto si annullano quadrati e costanti: rimane $10x$ . Il risultato è $\frac{10x}{x^2 - 9}$ , con entrambe le esclusioni conservate.

\frac{x^2 - 9}{x - 3}

x + 3;\quad x \ne 3

La formula si accorcia; la condizione iniziale resta valida.

Usare direttamente una relazione

Supponi $x > 0$ e $x + \frac{1}{x} = 5$ . Trova $x^2 + \frac{1}{x^2}$ senza risolvere per $x$ .

Eleva al quadrato la somma data. Il termine centrale è $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$ . Elimina quel termine incrociato per ottenere la quantità richiesta.

x + \frac{1}{x} = 5

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25

Il termine incrociato ha un valore fisso anche se x è ignoto.

Prova tu

Se $x > 0$ e $x + \frac{1}{x} = 5$ , quanto vale $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ?

$23$
$25$

Mostra la risposta

$23$

Il quadrato dà $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$ ; sottrai quindi $2$ per ottenere $23$ .

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Esercitati: Espressioni algebriche

Semplificare senza perdere le condizioni

Riconoscere la struttura prima di calcolare

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