Simplifica sin perder restricciones

Identifica la estructura antes de calcular

$3x + 5x$ se convierte en $8x$ porque ambos términos son múltiplos de la misma variable. En $3(x + 5)$ , distribuye $3$ entre ambos términos: $3x + 15$ .

En un cuadrado, $(x + 3)^2$ significa $(x + 3)(x + 3)$ . Su desarrollo es $x^2 + 6x + 9$ . El término central procede de dos productos cruzados.

Para potencias con exponentes enteros y la misma base no nula, multiplica sumando exponentes, divide restándolos y eleva una potencia a otro exponente entero multiplicando exponentes. Son tres operaciones diferentes.

Una raíz de índice par usa el resultado no negativo. Por tanto, $\sqrt{(x - 2)^2} = \lvert x - 2 \rvert$ . En $x = 1$ , la raíz es $1$ , mientras que $x - 2 = -1$ . En un cociente, $\frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{(x - 2)^2} = \frac{1}{\lvert x - 2 \rvert}$ solo para $x \ne 2$ . Conserva tanto el valor absoluto como el punto excluido.

x^2 \cdot x^3 = x^5

\frac{x^5}{x^2} = x^3

(x^2)^3 = x^6

Identifica la operación antes de elegir la regla de exponentes.

Cancela factores y conserva el punto excluido

Simplifica $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Anota primero $x \ne 3$ , porque el denominador original no puede ser cero.

Factoriza $x^2 - 9$ como $(x - 3)(x + 3)$ . Cancela el factor común $x - 3$ solo para valores permitidos de $x$ . La fórmula simplificada es $x + 3$ , todavía con $x \ne 3$ .

En $x = 3$ , la fórmula simplificada da $6$ , pero la fracción original es $\frac{0}{0}$ y no está definida. Una expresión equivalente debe conservar esa restricción. Cancelar no rellena el punto excluido.

Para $\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x + 3}$ , excluye $3$ y $-3$ y usa el denominador común $x^2 - 9$ . El numerador es $(x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x - 3)$ . Desarrollar y restar todo el segundo producto cancela los términos cuadrados y constantes y deja $10x$ . El resultado es $\frac{10x}{x^2 - 9}$ , conservando ambas exclusiones.

\frac{x^2 - 9}{x - 3}

x + 3;\quad x \ne 3

La fórmula se acorta; la restricción original permanece.

Usa una relación directamente

Supón $x > 0$ y $x + \frac{1}{x} = 5$ . Halla $x^2 + \frac{1}{x^2}$ sin despejar $x$ .

Eleva al cuadrado la suma dada. El término central es $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$ . Elimina ese término cruzado para dejar la cantidad solicitada.

x + \frac{1}{x} = 5

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25

El término cruzado tiene un valor fijo aunque x sea desconocido.

Pruébalo

Si $x > 0$ y $x + \frac{1}{x} = 5$ , ¿cuánto vale $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ?

$23$
$25$

Mostrar la respuesta

$23$

Al elevar al cuadrado se obtiene $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25$ , así que resta $2$ para obtener $23$ .

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