Multiplier autour d’une base

Choisissez une base proche B. Écrivez les nombres B + a et B + b. Au-dessus de la base, l’écart est positif ; au-dessous, il est négatif. Le développement donne (B + a)(B + b) = B(B + a + b) + ab.

Pour 103 × 107, prenez B = 100, a = +3 et b = +7. Ajoutez les écarts à la base : 100 + 3 + 7 = 110. Multipliez par la base : 110 × 100 = 11000. Ajoutez la correction 3 × 7 = 21 pour obtenir 11021.

Pour 113 × 117, les écarts sont +13 et +17. La partie de base vaut (100 + 13 + 17) × 100 = 13000. La correction vaut 13 × 17 = 221. L’addition donne 13221 : 221 ajoute deux centaines et 21 unités. Faites l’addition finale ; juxtaposer deux blocs de chiffres peut donner une erreur.

Pour 97 × 104, les écarts sont −3 et +4. La partie de base vaut (100 − 3 + 4) × 100 = 10100. La correction vaut (−3) × 4 = −12. Retranchez 12 : 10100 − 12 = 10088. Empruntez une centaine : 10100 = 10000 + 100, puis 100 − 12 = 88.

La même règle fonctionne avec 1000. Pour 998 × 1003, prenez −2 et +3 : (1000 − 2 + 3) × 1000 = 1001000. La correction vaut −6, donc le résultat est 1000994. Décomposez la partie de base : 1001000 = 1000000 + 1000 et 1000 − 6 = 994.

Essayez 96 × 108 autour de 100. Les écarts sont −4 et +8. La partie de base vaut (100 − 4 + 8) × 100 = 10400. Déterminez le signe de (−4) × 8 avant de terminer.

L’exercice s’ouvre au format Approfondie, Niveau 2, Dix opérations, avec deux nombres supérieurs à 100. Le Niveau 3 place les nombres de part et d’autre de 100. Le Niveau 4 utilise 1000, avec des écarts plus grands que dans le petit exemple ci-dessus.