Dimostrare un confronto o trovare un controesempio

Mantieni x e a reali e $x^2-6x+a=0$, ma ammetti anche $x=3$. Ora confronta a con 8. Il solo limite $a\le9$ non risolve questo confronto.

Per $x=3$, l’equazione dà $a=9>8$. Per $x=\frac72$, dà $a=\frac{35}{4}>8$. In entrambi gli esempi A è maggiore di B. Mostrano ciò che può accadere, non ciò che deve sempre accadere.

Per $x=5$, la stessa equazione dà $a=5<8$. Questo caso valido inverte il confronto: la relazione non è determinabile. Due esempi concordanti non sostituiscono mai una dimostrazione o un controesempio.

Siano x e y reali, con $(x-3)(y-3)\ne0$. Confronta la somma dei due valori assoluti separati con il valore assoluto della somma.

Poni $u=x-3$ e $v=y-3$. I valori traslati sono entrambi non nulli, ma la condizione non ne indica i segni. Confronta una coppia di segni opposti con una dello stesso segno. Vale una sola relazione in entrambi i casi?