Demuestra una comparación o busca un contraejemplo

Una solución real puede imponer una cota oculta

Una comparación fija debe cumplirse para todos los valores que permitan las condiciones. Lee todas las condiciones juntas: un parámetro de una ecuación no tiene por qué poder tomar cualquier valor.

Supón que x y a son reales, $x^2-6x+a=0$ y $x\ne3$ . Completar el cuadrado da $(x-3)^2=9-a$ . El miembro izquierdo es estrictamente positivo porque x es distinto de 3. Por tanto, $9>a$ , así que la cantidad A es mayor para toda solución permitida.

Si se eliminara la restricción $x\ne3$ , también se permitirían $x=3$ y $a=9$ . La cota pasaría a ser $a\le9$ y habría que comprobar la igualdad por separado.

Cantidad A

9

Cantidad B

a

Dado

x^2-6x+a=0

con

x\ne3

, compara 9 y a.

Una cota no determina todas las comparaciones

Mantén x y a reales y $x^2-6x+a=0$ , pero permite también $x=3$ . Compara ahora a con 8. La cota $a\le9$ por sí sola no resuelve esta comparación.

Para $x=3$ , la ecuación da $a=9>8$ . Para $x=\frac72$ , da $a=\frac{35}{4}>8$ . Ambos ejemplos hacen que A sea mayor que B. Muestran lo que puede pasar, no lo que debe pasar siempre.

Para $x=5$ , la misma ecuación da $a=5<8$ . Este caso válido invierte la comparación. No se puede determinar la relación. Dos ejemplos coincidentes nunca eliminan la necesidad de una demostración o un contraejemplo.

Cantidad A

a

Cantidad B

8

Dado

x^2-6x+a=0

para x y a reales, compara a con 8.

Comprueba cuándo una cota de valores absolutos da igualdad

Sean x e y reales, con $(x-3)(y-3)\ne0$ . Compara la suma de los dos valores absolutos por separado con el valor absoluto de su suma.

Define $u=x-3$ y $v=y-3$ . Ambos valores desplazados son no nulos, pero la condición no indica sus signos. Compara un par de signos opuestos con uno de signos iguales. ¿Se cumple una misma relación en ambos casos?

Cantidad A

\left|x - 3\right| + \left|y - 3\right|

Cantidad B

\left|x + y - 6\right|

Dado

(x-3)(y-3)\ne0

, compara las magnitudes por separado con la magnitud de su suma.

Pruébalo

Si x e y son reales y $(x-3)(y-3)\ne0$ , compara $A=\lvert x-3\rvert+\lvert y-3\rvert$ con $B=\lvert x+y-6\rvert$ .

La cantidad A siempre es mayor
No se puede determinar la relación

Mostrar la respuesta

No se puede determinar la relación

En $x=2,y=5$ , $A=3,B=1$ . En $x=4,y=5$ , $A=B=3$ . Los dos pares cumplen la condición de producto no nulo. A siempre es mayor o igual que B. Ser mayor en un caso e igual en otro significa que no se puede determinar la relación.

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Practicar: Compara cantidades: variables

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Una solución real puede imponer una cota oculta

Una cota no determina todas las comparaciones

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