大小関係を証明するか反例を探す

実数解の存在が隠れた範囲を決める

確定した大小関係は、条件が許すすべての値で成り立つ必要があります。すべての条件を合わせて読みましょう。方程式内のパラメータが自由にどんな値でも取れるとは限りません。

xとaが実数で、 $x^2-6x+a=0$ 、 $x\ne3$ とします。平方完成すると $(x-3)^2=9-a$ です。xは3と異なるので左辺は正です。したがって $9>a$ であり、許されるすべての解で数量Aの方が大きくなります。

$x\ne3$ という制限を外すと、 $x=3$ と $a=9$ も許されます。範囲は $a\le9$ となり、等号の場合を別に確かめる必要があります。

数量A

9

数量B

a

x^2-6x+a=0

かつ

x\ne3

のとき、9とaを比べましょう。

xとaは引き続き実数で $x^2-6x+a=0$ ですが、今度は $x=3$ も許します。aと8を比べましょう。 $a\le9$ という範囲だけでは、この比較は決まりません。

$x=3$ なら方程式から $a=9>8$ 、 $x=\frac72$ なら $a=\frac{35}{4}>8$ です。両方の例でAがBより大きくなります。これは起こり得る場合を示すだけで、必ずそうなることを示してはいません。

$x=5$ なら同じ方程式から $a=5<8$ です。この有効な場合では大小関係が逆になります。したがって関係を決められません。2つの例が一致しても、証明や反例を探す必要はなくなりません。

数量A

a

数量B

8

実数xとaについて

x^2-6x+a=0

のとき、aと8を比べましょう。

xとyを実数とし、 $(x-3)(y-3)\ne0$ とします。それぞれの絶対値の和と、和の絶対値を比べましょう。

$u=x-3$ 、 $v=y-3$ と置きます。ずらした両値は0ではありませんが、条件から符号は分かりません。異符号の組と同符号の組を比べましょう。両方で同じ関係が成り立ちますか？

数量A

\left|x - 3\right| + \left|y - 3\right|

数量B

\left|x + y - 6\right|

(x-3)(y-3)\ne0

のとき、それぞれの絶対値の和と、和の絶対値を比べましょう。

xとyが実数で $(x-3)(y-3)\ne0$ のとき、 $A=\lvert x-3\rvert+\lvert y-3\rvert$ と $B=\lvert x+y-6\rvert$ を比べましょう。

答えを見る

関係を決められない

$x=2,y=5$ では $A=3,B=1$ です。 $x=4,y=5$ では $A=B=3$ です。どちらの組も積が0でない条件を満たします。Aは常にB以上です。ある場合には大きく、別の場合には等しくなるため、関係を決められません。

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