Prouver une comparaison ou trouver un contre-exemple

Une solution réelle peut imposer une borne implicite

Une comparaison fixe doit être vraie pour toute valeur permise. Lisez les conditions ensemble : un paramètre dans une équation n’est pas nécessairement libre de prendre toute valeur.

Supposez x et a réels, $x^2-6x+a=0$ , et $x\ne3$ . Compléter le carré donne $(x-3)^2=9-a$ . Le membre gauche est strictement positif car x diffère de 3. Donc $9>a$ : la quantité A est supérieure pour toute solution permise.

Sans la restriction $x\ne3$ , $x=3$ et $a=9$ seraient aussi permis. La borne deviendrait $a\le9$ , et il faudrait vérifier le cas d’égalité séparément.

Quantité A

9

Quantité B

a

Avec

x^2-6x+a=0

x\ne3

, comparez 9 et a.

Une borne ne fixe pas toutes les comparaisons

Gardez x et a réels et $x^2-6x+a=0$ , mais autorisez aussi $x=3$ . Comparez maintenant a à 8. La borne $a\le9$ seule ne tranche pas cette comparaison.

Pour $x=3$ , l’équation donne $a=9>8$ . Pour $x=\frac72$ , elle donne $a=\frac{35}{4}>8$ . Dans les deux exemples, A est supérieur à B. Ils montrent ce qui peut arriver, pas ce qui arrive toujours.

Pour $x=5$ , la même équation donne $a=5<8$ . Ce cas valide inverse la comparaison : la relation ne peut pas être déterminée. Deux exemples concordants ne remplacent jamais une preuve ou un contre-exemple.

Quantité A

a

Quantité B

8

Avec

x^2-6x+a=0

pour x et a réels, comparez a à 8.

Vérifier l’égalité dans une borne de valeurs absolues

Soit x et y réels, avec $(x-3)(y-3)\ne0$ . Comparez la somme des deux valeurs absolues séparées à la valeur absolue de leur somme.

Posez $u=x-3$ et $v=y-3$ . Les deux valeurs décalées sont non nulles, mais la condition ne donne pas leurs signes. Comparez une paire de signes opposés à une paire de même signe. Une seule relation est-elle vraie dans les deux cas ?

Quantité A

\left|x - 3\right| + \left|y - 3\right|

Quantité B

\left|x + y - 6\right|

Avec

(x-3)(y-3)\ne0

, comparez les valeurs absolues séparées à celle de leur somme.

À vous d’essayer

Si x et y sont réels et $(x-3)(y-3)\ne0$ , comparez $A=\lvert x-3\rvert+\lvert y-3\rvert$ à $B=\lvert x+y-6\rvert$ .

La quantité A est toujours supérieure
La relation ne peut pas être déterminée

Voir la réponse

La relation ne peut pas être déterminée

Pour $x=2,y=5$ , $A=3,B=1$ . Pour $x=4,y=5$ , $A=B=3$ . Les deux paires donnent un produit non nul. A est toujours supérieur ou égal à B. Puisque A est supérieur à B dans un cas et égal dans un autre, la relation ne peut pas être déterminée.

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