Bewijs een vergelijking of vind een tegenvoorbeeld

Een reële oplossing kan een verborgen grens opleggen

Een vaste vergelijking moet gelden voor elke toegestane waarde. Lees alle voorwaarden samen: een parameter in een vergelijking mag niet vanzelf elke waarde aannemen.

Neem reële x en a, $x^2-6x+a=0$ , en $x\ne3$ . Kwadraatafsplitsen geeft $(x-3)^2=9-a$ . De linkerkant is strikt positief omdat x niet 3 is. Dus $9>a$ : grootheid A is groter voor elke toegestane oplossing.

Zonder de beperking $x\ne3$ zouden $x=3$ en $a=9$ ook toegestaan zijn. De grens wordt dan $a\le9$ , en het gelijkheidsgeval vraagt een aparte controle.

Grootheid A

9

Grootheid B

a

Vergelijk bij

x^2-6x+a=0

met

x\ne3

de waarden 9 en a.

Een grens bepaalt niet elke vergelijking

Houd x en a reëel en $x^2-6x+a=0$ , maar sta ook $x=3$ toe. Vergelijk nu a met 8. Alleen de grens $a\le9$ beslist deze vergelijking niet.

Bij $x=3$ geeft de vergelijking $a=9>8$ . Bij $x=\frac72$ geeft die $a=\frac{35}{4}>8$ . In beide voorbeelden is A groter dan B. Ze tonen wat kan gebeuren, niet wat altijd moet gebeuren.

Bij $x=5$ geeft dezelfde vergelijking $a=5<8$ . Dit geldige geval keert de vergelijking om: de relatie is niet te bepalen. Twee overeenkomende voorbeelden vervangen nooit een bewijs of tegenvoorbeeld.

Grootheid A

a

Grootheid B

8

Vergelijk bij

x^2-6x+a=0

voor reële x en a de waarden a en 8.

Controleer gelijkheid bij een grens voor absolute waarden

Neem reële x en y, met $(x-3)(y-3)\ne0$ . Vergelijk de som van de afzonderlijke absolute waarden met de absolute waarde van hun som.

Neem $u=x-3$ en $v=y-3$ . Beide verschoven waarden zijn niet nul, maar de voorwaarde bepaalt hun tekens niet. Vergelijk een paar met tegengestelde tekens met een paar met gelijke tekens. Geldt in beide gevallen dezelfde relatie?

Grootheid A

\left|x - 3\right| + \left|y - 3\right|

Grootheid B

\left|x + y - 6\right|

Vergelijk bij

(x-3)(y-3)\ne0

de afzonderlijke absolute waarden met de absolute waarde van hun som.

Probeer het

Als x en y reëel zijn en $(x-3)(y-3)\ne0$ , vergelijk dan $A=\lvert x-3\rvert+\lvert y-3\rvert$ met $B=\lvert x+y-6\rvert$ .

Grootheid A is altijd groter
De relatie is niet te bepalen

Antwoord tonen

De relatie is niet te bepalen

Bij $x=2,y=5$ geldt $A=3,B=1$ . Bij $x=4,y=5$ geldt $A=B=3$ . Beide paren voldoen aan de voorwaarde van een niet-nul product. A is altijd minstens zo groot als B. Groter in het ene geval en gelijk in het andere betekent dat de relatie niet te bepalen is.

Schakel JavaScript in om interactief te antwoorden en je plek in de les op te slaan.

Oefenen: Grootheden vergelijken: variabelen

Bewijs een vergelijking of vind een tegenvoorbeeld

Een reële oplossing kan een verborgen grens opleggen

Hulp bij de les

Over deze les

Een reële oplossing kan een verborgen grens opleggen

Een grens bepaalt niet elke vergelijking

Controleer gelijkheid bij een grens voor absolute waarden

Probeer het

Wat nu?