Prove uma comparação ou encontre um contraexemplo

Uma solução real pode impor um limite oculto

Uma comparação fixa deve valer para todos os valores permitidos pelas condições. Leia todas as condições em conjunto: um parâmetro de uma equação não está necessariamente livre para assumir qualquer valor.

Suponha que x e a sejam reais, $x^2-6x+a=0$ e $x\ne3$ . Completar o quadrado dá $(x-3)^2=9-a$ . O membro esquerdo é estritamente positivo porque x é diferente de 3. Portanto, $9>a$ , então a quantidade A é maior para toda solução permitida.

Se a restrição $x\ne3$ fosse removida, $x=3$ e $a=9$ também seriam permitidos. O limite passaria a ser $a\le9$ , e a igualdade precisaria de uma verificação própria.

Quantidade A

9

Quantidade B

a

Dado

x^2-6x+a=0

com

x\ne3

, compare 9 e a.

Um limite não fixa todas as comparações

Mantenha x e a reais e $x^2-6x+a=0$ , mas permita também $x=3$ . Agora compare a com 8. O limite $a\le9$ , sozinho, não resolve essa comparação.

Para $x=3$ , a equação dá $a=9>8$ . Para $x=\frac72$ , dá $a=\frac{35}{4}>8$ . Os dois exemplos fazem A ser maior que B. Eles mostram o que pode acontecer, não o que deve acontecer sempre.

Para $x=5$ , a mesma equação dá $a=5<8$ . Esse caso válido inverte a comparação. Não é possível determinar a relação. Dois exemplos concordantes nunca eliminam a necessidade de uma prova ou de um contraexemplo.

Quantidade A

a

Quantidade B

8

Dado

x^2-6x+a=0

para x e a reais, compare a com 8.

Verifique quando um limite de módulos dá igualdade

Sejam x e y reais, com $(x-3)(y-3)\ne0$ . Compare a soma dos dois módulos separados com o módulo da soma.

Defina $u=x-3$ e $v=y-3$ . Os dois valores deslocados são não nulos, mas a condição não informa seus sinais. Compare um par de sinais opostos com um par de sinais iguais. Uma mesma relação vale nos dois casos?

Quantidade A

\left|x - 3\right| + \left|y - 3\right|

Quantidade B

\left|x + y - 6\right|

Dado

(x-3)(y-3)\ne0

, compare as magnitudes separadas com a magnitude da soma.

Sua vez

Se x e y são reais e $(x-3)(y-3)\ne0$ , compare $A=\lvert x-3\rvert+\lvert y-3\rvert$ com $B=\lvert x+y-6\rvert$ .

A quantidade A é sempre maior
Não é possível determinar a relação

Mostrar a resposta

Não é possível determinar a relação

Em $x=2,y=5$ , $A=3,B=1$ . Em $x=4,y=5$ , $A=B=3$ . Os dois pares satisfazem a condição de produto não nulo. A é sempre maior ou igual a B. Ser maior em um caso e igual em outro significa que não é possível determinar a relação.

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Praticar: Compare quantidades: variáveis

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