Leggere funzioni e grafici

Siano $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x - 2$. Per trovare $f(g(4))$, inizia dall’interno: $g(4) = 2$. Passa quel risultato a $f$: $f(2) = 5$.

Invertire l’ordine cambia il risultato. $g(f(4)) = g(9) = 7$. La notazione indica l’ordine delle operazioni, non un prodotto.

Una funzione trasformata segue lo stesso principio. Per $h(x) = -2f(x - 2) + 3$, calcola $h(4)$ trovando $f(2) = 5$, poi $-2 \times 5 + 3 = -7$. Il moltiplicatore esterno negativo riflette le uscite; non cambia l’ingresso.

La composizione combina anche le condizioni. Siano $r(t)=\sqrt{t-4}$ e $s(x)=(x-1)^2$ per $-3\le x\le5$. Per avere $r(s(x))$ reale occorre $(x-1)^2\ge4$, quindi $x\le-1$ oppure $x\ge3$. Nell’intervallo dato, gli interi ammessi sono $-3,-2,-1,3,4,5$: sei ingressi. Entrambi i confini sono inclusi perché il radicando può essere nullo.

Sia $f(x) = (x - 1)^{2} + 2$, limitata a $x \le 1$. Trovare $f^{-1}(11)$ significa trovare l’ingresso ammesso che produce 11.

Da $(x - 1)^{2} + 2 = 11$ si ottiene $(x - 1)^{2} = 9$. L’equazione senza restrizioni ammette gli ingressi $-2$ e 4. Solo uno appartiene a $x \le 1$. Sceglilo qui sotto.

Senza la restrizione, due ingressi potrebbero dare la stessa uscita: la funzione quadratica non avrebbe un’inversa su tutti i reali. Conserva sempre il dominio quando inverti una funzione.