Funktionen und Graphen lesen

Seien $f(x) = 2x + 1$ und $g(x) = x - 2$. Beginne zum Bestimmen von $f(g(4))$ innen: $g(4) = 2$. Setze dieses Ergebnis in $f$ ein: $f(2) = 5$.

Eine umgekehrte Reihenfolge ändert das Ergebnis. $g(f(4)) = g(9) = 7$. Die Schreibweise gibt eine Reihenfolge vor, kein Produkt.

Eine transformierte Funktion funktioniert genauso. Werte bei $h(x) = -2f(x - 2) + 3$ den Ausdruck $h(4)$ aus, indem du zuerst $f(2) = 5$ und dann $-2 \times 5 + 3 = -7$ bestimmst. Der negative äußere Faktor spiegelt die Ausgaben; er ändert die Eingabe nicht.

Verkettung kombiniert auch Einschränkungen. Seien $r(t)=\sqrt{t-4}$ und $s(x)=(x-1)^2$ für $-3\le x\le5$. Ein reeller Wert von $r(s(x))$ verlangt $(x-1)^2\ge4$, also $x\le-1$ oder $x\ge3$. Im gegebenen Intervall sind die zulässigen ganzen Zahlen $-3,-2,-1,3,4,5$: sechs Eingaben. Beide Grenzen sind eingeschlossen, da der Radikand null sein darf.

Sei $f(x) = (x - 1)^{2} + 2$, eingeschränkt auf $x \le 1$. $f^{-1}(11)$ zu bestimmen bedeutet, die zulässige Eingabe zu finden, die 11 erzeugt.

Aus $(x - 1)^{2} + 2 = 11$ folgt $(x - 1)^{2} = 9$. Die uneingeschränkte Gleichung hat die Eingaben $-2$ und 4. Nur eine gehört zu $x \le 1$. Wähle diese Eingabe unten aus.

Ohne Einschränkung könnten zwei Eingaben dieselbe Ausgabe erzeugen. Die quadratische Funktion hätte daher keine Umkehrfunktion auf allen reellen Eingaben. Behalte beim Umkehren einer Funktion immer ihre Definitionsmenge bei.