Lee funciones y gráficas

Sean $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x - 2$. Para hallar $f(g(4))$, empieza por dentro: $g(4) = 2$. Introduce ese resultado en $f$: $f(2) = 5$.

Invertir el orden cambia el resultado. $g(f(4)) = g(9) = 7$. La notación indica el orden, no un producto.

Una función transformada funciona igual. Para $h(x) = -2f(x - 2) + 3$, evalúa $h(4)$ hallando primero $f(2) = 5$ y después $-2 \times 5 + 3 = -7$. El multiplicador exterior negativo refleja las salidas; no cambia la entrada.

La composición también combina restricciones. Sean $r(t)=\sqrt{t-4}$ y $s(x)=(x-1)^2$ para $-3\le x\le5$. Para que $r(s(x))$ sea real, se necesita $(x-1)^2\ge4$, así que $x\le-1$ o $x\ge3$. Dentro del intervalo dado, los enteros permitidos son $-3,-2,-1,3,4,5$: seis entradas. Se incluyen ambos límites porque el radicando puede ser cero.

Sea $f(x) = (x - 1)^{2} + 2$, restringida a $x \le 1$. Hallar $f^{-1}(11)$ significa encontrar la entrada permitida que produce 11.

De $(x - 1)^{2} + 2 = 11$ obtenemos $(x - 1)^{2} = 9$. La ecuación sin restricciones tiene las entradas $-2$ y 4. Solo una pertenece a $x \le 1$. Elige esa entrada abajo.

Sin la restricción, dos entradas podrían producir la misma salida, por lo que la cuadrática no tendría función inversa para todas las entradas reales. Conserva siempre el dominio al invertir una función.