Lire les fonctions et les graphiques

Soit $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x - 2$. Pour trouver $f(g(4))$, commencez à l’intérieur : $g(4) = 2$. Donnez ce résultat à $f$ : $f(2) = 5$.

Inverser l’ordre change le résultat. $g(f(4)) = g(9) = 7$. La notation indique un ordre d’opérations, pas un produit.

Une fonction transformée suit le même principe. Pour $h(x) = -2f(x - 2) + 3$, calculez $h(4)$ en trouvant $f(2) = 5$, puis $-2 \times 5 + 3 = -7$. Le multiplicateur extérieur négatif reflète les sorties ; il ne change pas l’entrée.

La composition combine aussi les restrictions. Soit $r(t)=\sqrt{t-4}$ et $s(x)=(x-1)^2$ pour $-3\le x\le5$. Pour que $r(s(x))$ soit réel, il faut $(x-1)^2\ge4$, donc $x\le-1$ ou $x\ge3$. Dans l’intervalle donné, les entiers permis sont $-3,-2,-1,3,4,5$ : six entrées. Les deux bornes sont incluses car le radicande peut être nul.

Soit $f(x) = (x - 1)^{2} + 2$, restreinte à $x \le 1$. Trouver $f^{-1}(11)$ signifie trouver l’entrée permise qui produit 11.

De $(x - 1)^{2} + 2 = 11$, on obtient $(x - 1)^{2} = 9$. L’équation non restreinte admet les entrées $-2$ et 4. Une seule appartient à $x \le 1$. Choisissez-la ci-dessous.

Sans restriction, deux entrées pourraient donner la même sortie : la fonction quadratique n’aurait pas de réciproque sur tous les réels. Conservez toujours le domaine en remontant une fonction.