関数とグラフを読む

$f(x) = 2x + 1$、$g(x) = x - 2$とします。$f(g(4))$を求めるには、内側から$g(4) = 2$を計算します。その結果を$f$に入れると、$f(2) = 5$です。

順番を逆にすると結果が変わります。$g(f(4)) = g(9) = 7$です。この記号は積ではなく、計算の順番を示します。

変換された関数も同じように計算します。$h(x) = -2f(x - 2) + 3$で$h(4)$を求めるには、$f(2) = 5$を求めてから$-2 \times 5 + 3 = -7$を計算します。外側の負の係数は出力を反転させ、入力は変えません。

合成では制限も組み合わさります。$-3\le x\le5$で$r(t)=\sqrt{t-4}$、$s(x)=(x-1)^2$とします。$r(s(x))$が実数になるには$(x-1)^2\ge4$が必要なので、$x\le-1$または$x\ge3$です。指定区間で許される整数は$-3,-2,-1,3,4,5$の6入力です。根号内は0でもよいので、両方の境界を含みます。

$f(x) = (x - 1)^{2} + 2$の定義域を$x \le 1$に制限します。$f^{-1}(11)$を求めるとは、出力11を生む許された入力を探すことです。

$(x - 1)^{2} + 2 = 11$から$(x - 1)^{2} = 9$を得ます。制限のない方程式の入力は$-2$と4です。このうち$x \le 1$に属するのは1つだけです。下でその入力を選びましょう。

制限がなければ、2つの入力が同じ出力を生むため、二次関数は実数全体では逆関数を持ちません。関数を逆にたどるときも、常に定義域を保ちましょう。